Cálculo Exemplos

$y = x^{3} \sin^{3} (x^{3})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} \sin^{3} (x^{3}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin^{3} (x^{3})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x^{3})] + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x^{3})$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x^{3})$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x^{3})$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{3}$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) (3 x^{2})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$x^{3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) x^{2}) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.5

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.5.3

Some $2$ e $3$ .

$x^{5} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{5} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) (3 x^{2})$

Etapa 3.7

Reordene os termos.

$9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$