Cálculo Exemplos

$y = \ln (\sqrt{x^{2} + 4})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 4}$ como ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.9

Mova ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Etapa 4.10

Multiplique $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 4.11

Multiplique ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.11.1

Mova ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 4.11.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 4.11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 4.11.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 4.11.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 4.12

Simplifique $2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 4.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.15

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + 0)$

Etapa 4.16

Simplifique os termos.

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Etapa 4.16.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x)$

Etapa 4.16.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 (x^{2} + 4)}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 4)} x$

Etapa 4.16.3

Combine $\frac{2}{2 (x^{2} + 4)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

Etapa 4.16.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.16.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

Etapa 4.16.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{x^{2} + 4}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$