Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 1})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 1}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$- {(x^{2} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {(x^{2} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 3.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} x$

Etapa 3.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}} x$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} x$

Etapa 3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} x$

Etapa 3.5.3

Combine $x$ e $\frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$