Cálculo Exemplos

$y = {\sin (x)}^{\cos (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sin (x)}^{\cos (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})}]$

Etapa 3.1.2

Expanda $\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})$ movendo $\cos (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (\sin (x))}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x) \ln (\sin (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x) \ln (\sin (x))$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.5

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.7

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.8

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} ({\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.10

Some $1$ e $1$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.11

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x)))$

Etapa 3.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x)) + e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\ln (\sin (x)) (- \sin (x)))$

Etapa 3.12.2

Remova os parênteses.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) + e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

Etapa 3.12.3

Reordene os termos.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$