Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x} (3 x - 1)$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} (3 x - 1)$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} (3 x - 1))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie.

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Etapa 4.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.6.1

Some $3$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.9

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10

Simplifique.

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Etapa 4.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2

Combine os termos.

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Etapa 4.10.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.2

Combine $x$ e $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.4

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.5

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.10.2.5.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.5.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 4.10.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.5.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.5.5

Some $- 1$ e $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.6

Reescreva $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ como $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.7

Para escrever $3 x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.8

Combine $3 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2.11

Some $6 x^{\frac{1}{2}}$ e $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$