Cálculo Exemplos

$y = 8^{3 - x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 8^{x}$ e $g (x) = 3 - x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [8^{u}] \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $8$ .

$8^{u} \ln (8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - x^{2}$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- (2 x))$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- 2 x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reordene os fatores de $8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- 2 x)$ .

$- 2 \cdot 8^{3 - x^{2}} x \ln (8)$

Etapa 3.2

Multiplique $- 2 \cdot 8^{3 - x^{2}}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore o negativo.

$- (2 \cdot 8^{3 - x^{2}}) x \ln (8)$

Etapa 3.2.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$- (2 \cdot {(2^{3})}^{3 - x^{2}}) x \ln (8)$

Etapa 3.2.3

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{3 - x^{2}}$ .

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Etapa 3.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \cdot 2^{3 (3 - x^{2})}) x \ln (8)$

Etapa 3.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (2 \cdot 2^{3 \cdot 3 + 3 (- x^{2})}) x \ln (8)$

Etapa 3.2.3.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$- (2 \cdot 2^{9 + 3 (- x^{2})}) x \ln (8)$

Etapa 3.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- (2 \cdot 2^{9 - 3 x^{2}}) x \ln (8)$

Etapa 3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2^{1 + 9 - 3 x^{2}} x \ln (8)$

Etapa 3.2.5

Some $1$ e $9$ .

$- 2^{10 - 3 x^{2}} x \ln (8)$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $- 2^{10 - 3 x^{2}} x \ln (8)$ .

$- x \cdot 2^{10 - 3 x^{2}} \ln (8)$