Cálculo Exemplos

$y = (5 x - 4) (5 x^{3} - x^{2} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x - 4$ e $g (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - x^{2} + 1] + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{3} - x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(5 x - 4) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x + 0) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 2.9

Some $15 x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.11

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.13

Multiplique $5$ por $1$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.14

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 + 0)$

Etapa 2.15

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.15.1

Some $5$ e $0$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 5$

Etapa 2.15.2

Mova $5$ para a esquerda de $5 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + 5 \cdot (5 x^{3} - x^{2} + 1)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 x - 4) (15 x^{2}) + (5 x - 4) (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x (15 x^{2}) - 4 (15 x^{2}) + (5 x - 4) (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x (15 x^{2}) - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $15$ por $5$ .

$75 x \cdot x^{2} - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.2.1

Mova $x^{2}$ .

$75 (x^{2} x) - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$75 (x^{2} x^{1}) - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$75 x^{2 + 1} - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.2.3

Some $2$ e $1$ .

$75 x^{3} - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique $15$ por $- 4$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.4

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x \cdot x - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 (x^{1} x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 (x^{1} x^{1}) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x^{1 + 1} - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.8

Some $1$ e $1$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x^{2} - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.9

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x^{2} + 8 x + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.10

Subtraia $10 x^{2}$ de $- 60 x^{2}$ .

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.11

Multiplique $5$ por $5$ .

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 25 x^{3} + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.12

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 25 x^{3} - 5 x^{2} + 5 \cdot 1$

Etapa 3.5.13

Multiplique $5$ por $1$ .

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 25 x^{3} - 5 x^{2} + 5$

Etapa 3.5.14

Some $75 x^{3}$ e $25 x^{3}$ .

$100 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x - 5 x^{2} + 5$

Etapa 3.5.15

Subtraia $5 x^{2}$ de $- 70 x^{2}$ .

$100 x^{3} - 75 x^{2} + 8 x + 5$