Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} + 8}{8 - x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 8$ e $g (x) = 8 - x$ .

$\frac{(8 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 8] - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(8 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + 0) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $8 - x$ .

$\frac{2 \cdot (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [- x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + 1 (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.9.2

Multiplique $x^{2} + 8$ por $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \cdot 1}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 2.11

Multiplique $x^{2} + 8$ por $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x)) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{16 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- x^{2}) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{16 x - 2 x^{2} + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{16 x - x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $16 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 16 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.8

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.10

Reescreva $- (x^{2} - 16 x - 8)$ como $- 1 (x^{2} - 16 x - 8)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} - 16 x - 8}{{(- x + 8)}^{2}}$