Cálculo Exemplos

$y = \ln (1 + e^{2 x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Combine $2$ e $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \cdot 1$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ por $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$