Cálculo Exemplos

$y = \ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x - 1$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 2.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 2.7

Some $4$ e $0$ .

$\frac{1}{4 x - 1} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 2.8

Combine $\frac{1}{4 x - 1}$ e $4$ .

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{1}{x}$

Etapa 3.3

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{- 3}{x}$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{4 x - 1} - \frac{3}{x}$

Etapa 4

Combine os termos.

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Etapa 4.1

Para escrever $\frac{4}{4 x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x}$

Etapa 4.2

Para escrever $- \frac{3}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(4 x - 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{4}{4 x - 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{3}{x}$ por $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ .

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

Etapa 4.3.3

Reordene os fatores de $(4 x - 1) x$ .

$\frac{4 x}{x (4 x - 1)} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 x - 3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$