Cálculo Exemplos

$lim_{a \to 0} \frac{\ln (1 + a)}{a}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{a \to 0} \ln (1 + a)}{lim_{a \to 0} a}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{a \to 0} 1 + a)}{lim_{a \to 0} a}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $a$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{a \to 0} 1 + lim_{a \to 0} a)}{lim_{a \to 0} a}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $a$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{a \to 0} a)}{lim_{a \to 0} a}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $a$ substituindo $0$ por $a$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{a \to 0} a}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{a \to 0} a}$

Etapa 1.1.2.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 0} a}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $a$ substituindo $0$ por $a$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{a \to 0} \frac{\ln (1 + a)}{a} = lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} [\ln (1 + a)]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} [\ln (1 + a)]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = \ln (a)$ e $g (a) = 1 + a$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + a$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + a$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + a$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} (\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [a])}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $1$ em relação a $a$ é $0$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} (0 + \frac{d}{d a} [a])}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \frac{d}{d a} [a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \cdot 1}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $\frac{1}{1 + a}$ por $1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a}}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3.8

Reordene os termos.

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{a + 1}}{\frac{d}{d a} [a]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{a + 1}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{a \to 0} \frac{1}{a + 1} \cdot 1$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{1}{a + 1}$ por $1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{1}{a + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $a$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{a \to 0} 1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $a$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $a$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + lim_{a \to 0} 1}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $a$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Etapa 3

Avalie o limite de $a$ substituindo $0$ por $a$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 4.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$