Cálculo Exemplos

$y = 2 \tan (\frac{1}{2} x) - x$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \tan (\frac{1}{2} x) - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)]$ .

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \tan (\frac{x}{2})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.7

Combine $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.8

Combine $2$ e $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.9.2

Divida $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$- 1 + \sec^{2} (\frac{x}{2})$

Etapa 4.2

Reordene $- 1$ e $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Etapa 4.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\tan^{2} (\frac{x}{2})$