Cálculo Exemplos

$y = \ln ({(5 - x)}^{6})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(5 - x)}^{6}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = 5 - x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 - x$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 - x$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (6 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $6$ e $\frac{1}{{(5 - x)}^{6}}$ .

$\frac{6}{{(5 - x)}^{6}} ({(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine ${(5 - x)}^{5}$ e $\frac{6}{{(5 - x)}^{6}}$ .

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Etapa 3.2.2

Mova $6$ para a esquerda de ${(5 - x)}^{5}$ .

$\frac{6 \cdot {(5 - x)}^{5}}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de ${(5 - x)}^{5}$ e ${(5 - x)}^{6}$ .

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Etapa 3.2.3.1

Fatore ${(5 - x)}^{5}$ de $6 {(5 - x)}^{5}$ .

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Etapa 3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.2.1

Fatore ${(5 - x)}^{5}$ de ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{5} (5 - x)} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Etapa 3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{5} (5 - x)} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Etapa 3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{5 - x} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6}{5 - x} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{6}{5 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6}{5 - x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{5 - x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{6}{5 - x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.8

Combine frações.

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Etapa 3.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{6}{5 - x} \cdot - 1$

Etapa 3.8.2

Combine $\frac{6}{5 - x}$ e $- 1$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{5 - x}$

Etapa 3.8.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.3.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{- 6}{5 - x}$

Etapa 3.8.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{5 - x}$