Cálculo Exemplos

$z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$z = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $z$ em relação a $x$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.6.3

Mova ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 4.9

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 4.10

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 4.10.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 4.10.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.5

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = \frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$