Cálculo Exemplos

$y = \ln (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (9 x^{2} + 5 y^{2}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} + 5 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Etapa 3.2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Etapa 3.2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$ .

$(18 x + 10 y y') \frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $18 x + 10 y y'$ por $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$ .

$\frac{18 x + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Etapa 3.6.3

Fatore $2$ de $18 x + 10 y y'$ .

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Etapa 3.6.3.1

Fatore $2$ de $18 x$ .

$\frac{2 (9 x) + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Etapa 3.6.3.2

Fatore $2$ de $10 y y'$ .

$\frac{2 (9 x) + 2 (5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Etapa 3.6.3.3

Fatore $2$ de $2 (9 x) + 2 (5 y y')$ .

$\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $y' (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2

Reordene.

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 y' x^{2} + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x + 5 y y')$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x) + 2 (5 y y')$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.1.3.1

Multiplique $9$ por $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 2 (5 y y')$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 (y y')$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Mova $y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 y' y$

Etapa 5.2.2.1.3.4

Reordene $18 x$ e $10 y' y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 10 y' y + 18 x$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $10 y' y$ dos dois lados da equação.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $9 y' x^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $5 y' y^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) - 10 y' y = 18 x$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $- 10 y' y$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Etapa 5.3.2.4

Fatore $y'$ de $y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2})$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Etapa 5.3.2.5

Fatore $y'$ de $y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y)$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ por $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ por $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$