Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{6 + 5 x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 + 5 x}$ como ${(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 6 + 5 x$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 + 5 x$ .

$\frac{1}{2} {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(6 + 5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 + 5 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.6

Combine frações.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(6 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(6 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.6.3

Mova ${(6 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 + 5 x]$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 4.8

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 4.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.10

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.11

Combine $5$ e $\frac{1}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 4.13

Multiplique $\frac{5}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{5}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{5}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 {(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$