Cálculo Exemplos

$y = \log_{2} (4 x^{3})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\log_{2} (4 x^{3}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{2} (x)$ e $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\log_{2} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{3}$ .

$\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)}$ .

$\frac{4}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \ln (2)} (3 x^{2})$

Etapa 3.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.4.1

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{3} \ln (2)}$ .

$\frac{3}{x^{3} \ln (2)} x^{2}$

Etapa 3.2.4.2

Combine $\frac{3}{x^{3} \ln (2)}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (2)}$

Etapa 3.2.4.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 3.2.4.3.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \ln (2)}$

Etapa 3.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.4.3.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} \ln (2)$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \ln (2))}$

Etapa 3.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \ln (2))}$

Etapa 3.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{x \ln (2)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3}{x \ln (2)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x \ln (2)}$