Cálculo Exemplos

$y = \frac{x + y}{x - y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + y$ e $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.7

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.1

Expanda $(x - y) (1 + y')$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.3

Expanda $(- x - y) (1 - y')$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.4.2

Multiplique $- x (- y')$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.4.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.4.4

Multiplique $- y (- y')$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.1.4.4.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.2

Combine os termos opostos em $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.2.2

Some $x y' - y - y y'$ e $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.2.3

Some $- y y'$ e $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.2.4

Some $x y' - y + x y' - y$ e $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.3

Some $x y'$ e $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2.4

Subtraia $y$ de $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.3

Fatore $2$ de $2 x y' - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1

Fatore $2$ de $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.3.2

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.8.3.3

Fatore $2$ de $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por ${(x - y)}^{2}$ .

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(x - y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

Etapa 5.2.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

Etapa 5.2.1.3.2

Mova $x$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Subtraia $2 y' x$ dos dois lados da equação.

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Reescreva ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.2

Expanda $(x - y) (x - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.3.1.4.1

Mova $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.1.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.2

Subtraia $y x$ de $- x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.3.2.1

Mova $y$ .

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.2.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.1.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $- 2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.2.4

Fatore $y'$ de $- 2 y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Etapa 5.3.2.5

Fatore $y'$ de $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Etapa 5.3.2.6

Fatore $y'$ de $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Etapa 5.3.2.7

Fatore $y'$ de $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ por $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ por $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$