Cálculo Exemplos

$x + y - 1 = \ln (x^{2} + y^{2})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x + y - 1) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + y' + 0$

Etapa 2.5

Some $1 + y'$ e $0$ .

$1 + y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2 x + 2 y y'$ por $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 3.5.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 y y'$ .

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Etapa 3.5.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 3.5.3.2

Fatore $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 3.5.3.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 + y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $x^{2} + y^{2}$ .

$(1 + y') (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Expanda $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (x^{2} + y^{2}) + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.2.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reordene.

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Etapa 5.2.1.1.2.2.1

Mova $y^{2}$ .

$x^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.2.2

Mova $x^{2}$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 (x + y y')$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.1.3.1

Mova $y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y' y$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Reordene $2 x$ e $2 y' y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 y' y + 2 x$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $2 y' y$ dos dois lados da equação.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x$

Etapa 5.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2}$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $y'$ de $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $y'$ de $- 2 y' y$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $y'$ de $y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $y'$ de $y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Etapa 5.3.4

Divida cada termo em $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ por $x^{2} + y^{2} - 2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ por $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

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Etapa 5.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.4.3.2

Combine em uma fração.

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Etapa 5.3.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x - x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$