Cálculo Exemplos

$x - \cos (7 y) = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x - \cos (7 y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \cos (7 y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (7 y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (7 y)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\cos (7 y)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 7 y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [7 y])$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$1 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [7 y])$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 y$ .

$1 - (- \sin (7 y) \frac{d}{d x} [7 y])$

Etapa 2.2.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 y$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - (- \sin (7 y) (7 \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - (- \sin (7 y) (7 y'))$

Etapa 2.2.5

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$1 - (- 7 \sin (7 y) y')$

Etapa 2.2.6

Multiplique $- 7$ por $- 1$ .

$1 + 7 \sin (7 y) y'$

Etapa 2.3

Reordene os termos.

$7 \sin (7 y) y' + 1$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$7 \sin (7 y) y' + 1 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $7 \sin (7 y) y' + 1$ .

$7 y' \sin (7 y) + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$7 y' \sin (7 y) = - 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $7 y' \sin (7 y) = - 1$ por $7 \sin (7 y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $7 y' \sin (7 y) = - 1$ por $7 \sin (7 y)$ .

$\frac{7 y' \sin (7 y)}{7 \sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 y' \sin (7 y)}{7 \sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \sin (7 y)}{\sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\sin (7 y)$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sin (7 y)}{\sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Separe as frações.

$y' = \frac{- 1}{7} \cdot \frac{1}{\sin (7 y)}$

Etapa 5.3.3.2

Converta de $\frac{1}{\sin (7 y)}$ em $\csc (7 y)$ .

$y' = \frac{- 1}{7} \csc (7 y)$

Etapa 5.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{7} \csc (7 y)$

Etapa 5.3.3.4

Combine $\csc (7 y)$ e $\frac{1}{7}$ .

$y' = - \frac{\csc (7 y)}{7}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (7 y)}{7}$