Cálculo Exemplos

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

Etapa 2.4

Reordene os fatores de $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + \frac{π}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $\frac{π}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 y y' + 0$

Etapa 3.3.2

Some $2 y y'$ e $0$ .

$2 y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Etapa 5.1.3

Multiplique $1 + y'$ por $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $2 y y'$ dos dois lados da equação.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2.2.2

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2.2.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2.2.3.2

Some $x y$ e $y x$ .

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Etapa 5.2.2.3.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2.2.3.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2.3

Para escrever $- 2 y y'$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.4

Combine $- 2 y y'$ e $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.6.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.6.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.6.2.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.6.2.2.1

Mova $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.6.2.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.6.2.3

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.6.2.3.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.6.2.3.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 5.2.6.2.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.6.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.6.2.3.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.2.6.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 5.3

Defina o numerador como igual a zero.

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ .

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Etapa 5.4.2.1

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Etapa 5.4.2.2

Fatore $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Etapa 5.4.2.3

Fatore $y'$ de $- 2 y y' x^{2}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Etapa 5.4.2.4

Fatore $y'$ de $- 4 y^{2} y' x$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

Etapa 5.4.2.5

Fatore $y'$ de $- 2 y^{3} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Etapa 5.4.2.6

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Etapa 5.4.2.7

Fatore $y'$ de $y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Etapa 5.4.2.8

Fatore $y'$ de $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Etapa 5.4.2.9

Fatore $y'$ de $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

Etapa 5.4.3

Divida cada termo em $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ por $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ e simplifique.

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Etapa 5.4.3.1

Divida cada termo em $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ por $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

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Etapa 5.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Etapa 5.4.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Etapa 5.4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$