Cálculo Exemplos

$y = {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = 6 x^{3} + 7$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Etapa 3.6

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{3} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.8

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{3}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.10

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.11

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2} + 0)$

Etapa 3.12

Simplifique os termos.

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Etapa 3.12.1

Some $18 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2})$

Etapa 3.12.2

Combine $18$ e $\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{18 (3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

Etapa 3.12.3

Multiplique $3$ por $18$ .

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

Etapa 3.12.4

Combine $\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

Etapa 3.12.5

Fatore $2$ de $54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Etapa 3.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.13.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

Etapa 3.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

Etapa 3.13.4

Divida $27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ por $1$ .

$27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Etapa 3.14

Reordene os fatores de $27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$