Cálculo Exemplos

$y = 7^{\sec (x)} + \ln (x^{3})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (7^{\sec (x)} + \ln (x^{3}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7^{\sec (x)} + \ln (x^{3})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 7^{x}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $7$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (x)$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.1.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{3}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

Etapa 3.3.3

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3}{x^{3}} x^{2}$

Etapa 3.3.4

Combine $\frac{3}{x^{3}}$ e $x^{2}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Etapa 3.3.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 3.3.5.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Etapa 3.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.5.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Etapa 3.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Etapa 3.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3}{x}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$