Cálculo Exemplos

$y = \tan (\sqrt{7 t})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7 t}$ como ${(7 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1.1

Fatore $7$ de $7 t$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(7 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra do produto a $7 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3

Diferencie.

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Etapa 4.3.1

Como $7^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 4.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 4.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 4.10

Combine $7^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{7^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12

Combine $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.13

Reordene os fatores em $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$