Cálculo Exemplos

$y = \cos (\sqrt{6 t + 12})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 t + 12}$ como ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \cos ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cos ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 6 t + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $6 t + 12$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 t + 12$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.7.3

Mova ${(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Etapa 4.7.4

Combine $\frac{1}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 12]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 t + 12$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [12]$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [12])$

Etapa 4.9

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6 t$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [12])$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [12])$

Etapa 4.11

Multiplique $6$ por $1$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d t} [12])$

Etapa 4.12

Como $12$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $12$ em relação a $t$ é $0$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

Etapa 4.13

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.13.1

Some $6$ e $0$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

Etapa 4.13.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.13.3

Combine $- 6$ e $\frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 6 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.13.4

Fatore $2$ de $- 6 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.14.1

Fatore $2$ de $2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$