Cálculo Exemplos

${(6 x - y)}^{2} - 5 y = 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(6 x - y)}^{2} - 5 y) = \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(6 x - y)}^{2}$ como $(6 x - y) (6 x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x - y) (6 x - y) - 5 y]$

Etapa 2.2

Expanda $(6 x - y) (6 x - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x - y) - y (6 x - y) - 5 y]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x (- y) - y (6 x - y) - 5 y]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Etapa 2.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 \cdot - 1 x y - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Etapa 2.3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 1 \cdot 6 y x - y (- y) - 5 y]$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - y (- y) - 5 y]$

Etapa 2.3.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y - 5 y]$

Etapa 2.3.1.9

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.9.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - 5 y]$

Etapa 2.3.1.9.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 y^{2} - 5 y]$

Etapa 2.3.1.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x + 1 y^{2} - 5 y]$

Etapa 2.3.1.11

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x + y^{2} - 5 y]$

Etapa 2.3.2

Subtraia $6 y x$ de $- 6 x y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 x y + y^{2} - 5 y]$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $6 x y$ de $- 6 x y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 12 x y + y^{2} - 5 y]$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $36 x^{2} - 12 x y + y^{2} - 5 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $36$ .

$72 x + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x y]$ .

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Etapa 2.6.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x y$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$72 x - 12 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$72 x - 12 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.6.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$72 x - 12 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$72 x - 12 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.6.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.7

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.7.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.7.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.7.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.7.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.7.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Etapa 2.8.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 y$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.8.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' - 5 y'$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$72 x - 12 (x y') - 12 y + 2 y y' - 5 y'$

Etapa 2.9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$72 x - 12 x y' - 12 y + 2 y y' - 5 y'$

Etapa 2.9.3

Reordene os termos.

$- 12 x y' + 2 y y' + 72 x - 12 y - 5 y'$

Etapa 3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 12 x y' + 2 y y' + 72 x - 12 y - 5 y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $72 x$ dos dois lados da equação.

$- 12 x y' + 2 y y' - 12 y - 5 y' = - 72 x$

Etapa 5.1.2

Some $12 y$ aos dois lados da equação.

$- 12 x y' + 2 y y' - 5 y' = - 72 x + 12 y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $- 12 x y' + 2 y y' - 5 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $- 12 x y'$ .

$y' (- 12 x) + 2 y y' - 5 y' = - 72 x + 12 y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (- 12 x) + y' (2 y) - 5 y' = - 72 x + 12 y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $- 5 y'$ .

$y' (- 12 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = - 72 x + 12 y$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de $y' (- 12 x) + y' (2 y)$ .

$y' (- 12 x + 2 y) + y' \cdot - 5 = - 72 x + 12 y$

Etapa 5.2.5

Fatore $y'$ de $y' (- 12 x + 2 y) + y' \cdot - 5$ .

$y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$ por $- 12 x + 2 y - 5$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$ por $- 12 x + 2 y - 5$ .

$\frac{y' (- 12 x + 2 y - 5)}{- 12 x + 2 y - 5} = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12 x + 2 y - 5$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 12 x + 2 y - 5)}{- 12 x + 2 y - 5} = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 72 x + 12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $12$ de $- 72 x + 12 y$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $12$ de $- 72 x$ .

$y' = \frac{12 (- 6 x) + 12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $12$ de $12 y$ .

$y' = \frac{12 (- 6 x) + 12 (y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $12$ de $12 (- 6 x) + 12 (y)$ .

$y' = \frac{12 (- 6 x + y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- 6 x$ .

$y' = \frac{12 (- (6 x) + y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{12 (- (6 x) - 1 (- y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (6 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{12 (- (6 x - y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.3.6

Reescreva $- (6 x - y)$ como $- 1 (6 x - y)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- 12 x$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x) + 2 y - 5}$

Etapa 5.3.3.8

Fatore $- 1$ de $2 y$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x) - (- 2 y) - 5}$

Etapa 5.3.3.9

Fatore $- 1$ de $- (12 x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y) - 5}$

Etapa 5.3.3.10

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y) - 1 (5)}$

Etapa 5.3.3.11

Fatore $- 1$ de $- (12 x - 2 y) - 1 (5)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y + 5)}$

Etapa 5.3.3.12

Reescreva $- (12 x - 2 y + 5)$ como $- 1 (12 x - 2 y + 5)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 1 (12 x - 2 y + 5)}$

Etapa 5.3.3.13

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 1 (12 x - 2 y + 5)}$

Etapa 5.3.3.14

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{12 (6 x - y)}{12 x - 2 y + 5}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 (6 x - y)}{12 x - 2 y + 5}$