Cálculo Exemplos

$y = (x + 1) (x^{2} - 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + 1) (x^{2} - 1))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 3.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 3.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x + 1$ .

$2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 3.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)$

Etapa 3.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1$

Etapa 3.2.8.2

Multiplique $x^{2} - 1$ por $1$ .

$2 (x + 1) x + x^{2} - 1$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Etapa 3.3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Etapa 3.3.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Etapa 3.3.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Etapa 3.3.3.4

Some $1$ e $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Etapa 3.3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1$

Etapa 3.3.3.6

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 3 x^{2} + 2 x - 1$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 1$