Cálculo Exemplos

$x^{3} - x^{2} - x y = 4$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x^{2} - x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - 2 x - \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 2 x - (x y') - y$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 x^{2} - 2 x - x y' - y$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$3 x^{2} - x y' - 2 x - y$

Etapa 3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} - x y' - 2 x - y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- x y' - 2 x - y = - 3 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$- x y' - y = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.1.3

Some $y$ aos dois lados da equação.

$- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$ por $- x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$ por $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x)}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 3 x}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (- 3 x) + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (- 3 x)$ como $- (- 3 x)$ .

$y' = - (- 3 x) + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y' = 3 x + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y' = 3 x + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y' = 3 x + \frac{2}{- 1} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.3.1.4.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$y' = 3 x - 1 \cdot 2 + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y' = 3 x - 2 + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = 3 x - 2 - \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x - 2 - \frac{y}{x}$