Cálculo Exemplos

$x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.5.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.5.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.5.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.5.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 y y'$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y') - y^{2} + 2 x + 2 y y'$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 2 x y y' - y^{2} + 2 x + 2 y y'$

Etapa 2.6.3

Reordene os termos.

$- y^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- y^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = y^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = y^{2} - 2 x y$

Etapa 5.1.3

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 2 x y y' + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $- 2 x y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.2.5

Fatore $y'$ de $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (2 y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$ por $x^{2} - 2 x y + 2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$ por $x^{2} - 2 x y + 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{x^{2} - 2 x y + 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} - 2 x y + 2 y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{x^{2} - 2 x y + 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Etapa 5.3.3.2

Combine em uma fração.

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Etapa 5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Etapa 5.3.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x y - 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2 x y - 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$