Cálculo Exemplos

$y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4} = 27$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4}) = \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{5}$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} y') + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} y') + y^{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.3.5

Mova $5$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$3 y^{2} y' + 5 \cdot x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{5}$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - (4 x^{3})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - 4 x^{3}$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$- 4 x^{3} + 3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Etapa 3

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 4 x^{3} + 3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $4 x^{3}$ aos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x = 4 x^{3}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2 y^{5} x$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Etapa 5.2

Fatore $y^{2} y'$ de $3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y^{2} y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y^{2} y' \cdot 3 + 5 y^{4} x^{2} y' = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Etapa 5.2.2

Fatore $y^{2} y'$ de $5 y^{4} x^{2} y'$ .

$y^{2} y' \cdot 3 + y^{2} y' (5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Etapa 5.2.3

Fatore $y^{2} y'$ de $y^{2} y' \cdot 3 + y^{2} y' (5 y^{2} x^{2})$ .

$y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$ por $y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$ por $y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})$ .

$\frac{y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{3 + 5 y^{2} x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $3 + 5 y^{2} x^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{3 + 5 y^{2} x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{5}$ e $y^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $y^{2}$ de $- 2 y^{5} x$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{y^{2} (- 2 y^{3} x)}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{y^{2} (- 2 y^{3} x)}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x y^{2}}{(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{4 x^{3} - 2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.5.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3} - 2 y^{3} x y^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.5.1.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2}) - 2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5.1.2

Fatore $2 x$ de $- 2 y^{3} x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- y^{3} y^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- y^{3} y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{3} y^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5.2

Multiplique $y^{3}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.5.2.1

Mova $y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - (y^{2} y^{3}))}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{2 + 3})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5.2.3

Some $2$ e $3$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{5})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{5})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$