Cálculo Exemplos

$y^{2} = \frac{x}{x + 1}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + 1})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.6.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.3.2

Combine.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 5.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{1}{2 \cdot {(x + 1)}^{2} y}$

Etapa 5.3.3.3

Reordene os fatores em $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{1}{2 y {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y {(x + 1)}^{2}}$