Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} = 8 x y - 5$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8 x y - 5)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x y - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x y$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$8 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 (x y' + y) + 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (x y') + 8 y + 0$

Etapa 3.4.2

Some $8 x y' + 8 y$ e $0$ .

$8 x y' + 8 y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 8 x y' + 8 y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Subtraia $8 x y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 8 x y' = 8 y$

Etapa 5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 8 x y' = 8 y - 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' - 8 x y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 8 x y' = 8 y - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- 8 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 8 x) = 8 y - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (- 8 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 8 x) = 8 y - 3 x^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} - 8 x) = 8 y - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} - 8 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} - 8 x) = 8 y - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} - 8 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 8 x)}{3 y^{2} - 8 x} = \frac{8 y}{3 y^{2} - 8 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 8 x}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} - 8 x)}{3 y^{2} - 8 x} = \frac{8 y}{3 y^{2} - 8 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 8 x}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{8 y}{3 y^{2} - 8 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 8 x}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{8 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 8 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 8 x}$