Cálculo Exemplos

$2 x + 5 y = x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x + 5 y) = \frac{d}{d x} (x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 5 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 + 5 y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$5 y' + 2$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$5 y' + 2 = x y' + y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $x y'$ dos dois lados da equação.

$5 y' + 2 - x y' = y$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$5 y' - x y' = y - 2$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $5 y' - x y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $5 y'$ .

$y' \cdot 5 - x y' = y - 2$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' \cdot 5 + y' (- x) = y - 2$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot 5 + y' (- x)$ .

$y' (5 - x) = y - 2$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (5 - x) = y - 2$ por $5 - x$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (5 - x) = y - 2$ por $5 - x$ .

$\frac{y' (5 - x)}{5 - x} = \frac{y}{5 - x} + \frac{- 2}{5 - x}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $5 - x$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (5 - x)}{5 - x} = \frac{y}{5 - x} + \frac{- 2}{5 - x}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{5 - x} + \frac{- 2}{5 - x}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y - 2}{5 - x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{5 - x}$