Cálculo Exemplos

$3 y^{2} = \frac{5 x - 4}{5 x + 4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 4}{5 x + 4})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 y y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 5 x - 4$ e $g (x) = 5 x + 4$ .

$\frac{(5 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x - 4] - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(5 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 + 0) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{(5 x + 4) \cdot 5 - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.6.2

Mova $5$ para a esquerda de $5 x + 4$ .

$\frac{5 \cdot (5 x + 4) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 + 0)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.12.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) \cdot 5}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.12.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 4)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x - 4)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.1

Combine os termos opostos em $5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 4$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Subtraia $5 (5 x)$ de $5 (5 x)$ .

$\frac{5 \cdot 4 + 0 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Some $5 \cdot 4$ e $0$ .

$\frac{5 \cdot 4 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$\frac{20 + 20}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Some $20$ e $20$ .

$\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 5

Divida cada termo em $6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$ por $6 y$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$ por $6 y$ .

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{6 y}$

Etapa 5.3.2

Combine.

$y' = \frac{40 \cdot 1}{{(5 x + 4)}^{2} (6 y)}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $40$ e $6$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $2$ de $40 \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{{(5 x + 4)}^{2} (6 y)}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $2$ de ${(5 x + 4)}^{2} (6 y)$ .

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 4)}^{2} (3 y))}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 4)}^{2} (3 y))}$

Etapa 5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{20 \cdot 1}{{(5 x + 4)}^{2} (3 y)}$

Etapa 5.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.4.1

Multiplique $20$ por $1$ .

$y' = \frac{20}{{(5 x + 4)}^{2} \cdot 3 y}$

Etapa 5.3.4.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(5 x + 4)}^{2}$ .

$y' = \frac{20}{3 \cdot {(5 x + 4)}^{2} y}$

Etapa 5.3.4.3

Reordene os fatores em $\frac{20}{3 {(5 x + 4)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{20}{3 y {(5 x + 4)}^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20}{3 y {(5 x + 4)}^{2}}$