Cálculo Exemplos

$\sqrt{x^{4} + y^{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{4} + y^{2}}$ como ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 x + 2 y^{3})$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{4} + y^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.6

Diferencie.

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Etapa 3.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.6.2

Combine frações.

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Etapa 3.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.6.2.2

Mova ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Etapa 3.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 3.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.8

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$ .

$(4 x^{3} + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $4 x^{3} + 2 y y'$ por $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.3

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.4

Fatore $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.9.6.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 3.9.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 2 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$5 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 4.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$5 + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 4.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 + 2 (3 y^{2} y')$

Etapa 4.3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$5 + 6 y^{2} y'$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$6 y^{2} y' + 5$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 6 y^{2} y' + 5$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados por ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique $\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Cancele o fator comum de ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 x^{3} + y y' = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Reordene $y$ e $y'$ .

$2 x^{3} + y' y = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique $(6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} + y' y = 6 y^{2} y' {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Mova $y^{2}$ .

$2 x^{3} + y' y = 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.3.1

Subtraia $6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{3} + y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2

Subtraia $2 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Etapa 6.3.3

Fatore $y' y$ de $y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.3.3.1

Fatore $y' y$ de $y' y$ .

$y' y \cdot 1 - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Etapa 6.3.3.2

Fatore $y' y$ de $- 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Etapa 6.3.3.3

Fatore $y' y$ de $y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Etapa 6.3.4

Divida cada termo em $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ por $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ e simplifique.

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Etapa 6.3.4.1

Divida cada termo em $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ por $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 6.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 6.3.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 6.3.4.2.3

Cancele o fator comum.

Etapa 6.3.4.2.4

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 6.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$