Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{2 x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 4.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 4.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.10

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.11.1

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.11.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.12.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.12.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$