Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + 6 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 12 \cdot 1$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 12$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 12$ .

$2 x + 12$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + 12 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x + 12 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 12$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 x = - 12$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 x = - 12$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 12}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 12}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $- 12$ por $2$ .

$x = - 6$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 6$ em $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot {(- 6)}^{3} + 6 {(- 6)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot - 216 + 6 {(- 6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.1.2.1

Fatore $3$ de $- 216$ .

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 72)) + 6 {(- 6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 72) + 6 {(- 6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 6) = - 72 + 6 {(- 6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f (- 6) = - 72 + 6 \cdot 36$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $6$ por $36$ .

$f (- 6) = - 72 + 216$

Etapa 3.1.2.2

Some $- 72$ e $216$ .

$f (- 6) = 144$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $144$ .

$144$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- 6$ em $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ é $(- 6, 144)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 6, 144)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 6)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 6.1$ na expressão.

$f'' (- 6.1) = 2 (- 6.1) + 12$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = - 12.2 + 12$

Etapa 5.2.2

Some $- 12.2$ e $12$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.2$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.2$ .

$- 0.2$

Etapa 5.3

Em $- 6.1$ , a segunda derivada é $- 0.2$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 6)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 6)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 6, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 5.9$ na expressão.

$f'' (- 5.9) = 2 (- 5.9) + 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $- 5.9$ .

$f'' (- 5.9) = - 11.8 + 12$

Etapa 6.2.2

Some $- 11.8$ e $12$ .

$f'' (- 5.9) = 0.2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.2$ .

$0.2$

Etapa 6.3

Em $- 5.9$ , a segunda derivada é $0.2$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 6, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 6, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- 6, 144)$ .

$(- 6, 144)$

Etapa 8