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Cálculo Exemplos
Etapa 1
Escreva como uma função.
Etapa 2
Etapa 2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.2
Avalie .
Etapa 2.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.3
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 2.2.4
Combine e .
Etapa 2.2.5
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 2.2.6
Simplifique o numerador.
Etapa 2.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 2.2.6.2
Subtraia de .
Etapa 2.2.7
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.2.8
Combine e .
Etapa 2.2.9
Combine e .
Etapa 2.2.10
Multiplique por .
Etapa 2.2.11
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 2.2.12
Fatore de .
Etapa 2.2.13
Cancele os fatores comuns.
Etapa 2.2.13.1
Fatore de .
Etapa 2.2.13.2
Cancele o fator comum.
Etapa 2.2.13.3
Reescreva a expressão.
Etapa 2.3
Avalie .
Etapa 2.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.3.3
Multiplique por .
Etapa 3
Etapa 3.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 3.2
Avalie .
Etapa 3.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 3.2.2
Reescreva como .
Etapa 3.2.3
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Etapa 3.2.3.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 3.2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 3.2.3.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 3.2.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 3.2.5
Multiplique os expoentes em .
Etapa 3.2.5.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 3.2.5.2
Combine e .
Etapa 3.2.5.3
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 3.2.6
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 3.2.7
Combine e .
Etapa 3.2.8
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 3.2.9
Simplifique o numerador.
Etapa 3.2.9.1
Multiplique por .
Etapa 3.2.9.2
Subtraia de .
Etapa 3.2.10
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 3.2.11
Combine e .
Etapa 3.2.12
Combine e .
Etapa 3.2.13
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 3.2.13.1
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 3.2.13.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 3.2.13.3
Subtraia de .
Etapa 3.2.13.4
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 3.2.14
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 3.2.15
Multiplique por .
Etapa 3.2.16
Combine e .
Etapa 3.2.17
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 3.3
Diferencie usando a regra da constante.
Etapa 3.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 3.3.2
Some e .
Etapa 4
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 5
Etapa 5.1
Encontre a primeira derivada.
Etapa 5.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 5.1.2
Avalie .
Etapa 5.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 5.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 5.1.2.3
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 5.1.2.4
Combine e .
Etapa 5.1.2.5
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 5.1.2.6
Simplifique o numerador.
Etapa 5.1.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 5.1.2.6.2
Subtraia de .
Etapa 5.1.2.7
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 5.1.2.8
Combine e .
Etapa 5.1.2.9
Combine e .
Etapa 5.1.2.10
Multiplique por .
Etapa 5.1.2.11
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 5.1.2.12
Fatore de .
Etapa 5.1.2.13
Cancele os fatores comuns.
Etapa 5.1.2.13.1
Fatore de .
Etapa 5.1.2.13.2
Cancele o fator comum.
Etapa 5.1.2.13.3
Reescreva a expressão.
Etapa 5.1.3
Avalie .
Etapa 5.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 5.1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 5.1.3.3
Multiplique por .
Etapa 5.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 6
Etapa 6.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 6.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 6.3
Encontre o MMC dos termos na equação.
Etapa 6.3.1
Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.
Etapa 6.3.2
O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.
Etapa 6.4
Multiplique cada termo em por para eliminar as frações.
Etapa 6.4.1
Multiplique cada termo em por .
Etapa 6.4.2
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 6.4.2.1
Cancele o fator comum de .
Etapa 6.4.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 6.4.2.1.2
Reescreva a expressão.
Etapa 6.5
Resolva a equação.
Etapa 6.5.1
Reescreva a equação como .
Etapa 6.5.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Etapa 6.5.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 6.5.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 6.5.2.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 6.5.2.2.2
Divida por .
Etapa 6.5.2.3
Simplifique o lado direito.
Etapa 6.5.2.3.1
Divida por .
Etapa 6.5.3
Eleve cada lado da equação à potência de para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.
Etapa 6.5.4
Simplifique o expoente.
Etapa 6.5.4.1
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 6.5.4.1.1
Simplifique .
Etapa 6.5.4.1.1.1
Multiplique os expoentes em .
Etapa 6.5.4.1.1.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 6.5.4.1.1.1.2
Cancele o fator comum de .
Etapa 6.5.4.1.1.1.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 6.5.4.1.1.1.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 6.5.4.1.1.2
Simplifique.
Etapa 6.5.4.2
Simplifique o lado direito.
Etapa 6.5.4.2.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 7
Etapa 7.1
Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.
Etapa 7.1.1
Aplique a regra para reescrever a exponenciação como um radical.
Etapa 7.1.2
Qualquer número elevado a é a própria base.
Etapa 7.2
Defina o denominador em como igual a para encontrar onde a expressão está indefinida.
Etapa 7.3
Resolva .
Etapa 7.3.1
Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.
Etapa 7.3.2
Simplifique cada lado da equação.
Etapa 7.3.2.1
Use para reescrever como .
Etapa 7.3.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 7.3.2.2.1
Simplifique .
Etapa 7.3.2.2.1.1
Multiplique os expoentes em .
Etapa 7.3.2.2.1.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 7.3.2.2.1.1.2
Cancele o fator comum de .
Etapa 7.3.2.2.1.1.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 7.3.2.2.1.1.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 7.3.2.2.1.2
Simplifique.
Etapa 7.3.2.3
Simplifique o lado direito.
Etapa 7.3.2.3.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 8
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 10
Etapa 10.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 10.2
Multiplique por .
Etapa 11
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 12
Etapa 12.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 12.2
Simplifique o resultado.
Etapa 12.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 12.2.1.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 12.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 12.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 12.2.2
Subtraia de .
Etapa 12.2.3
A resposta final é .
Etapa 13
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 14
Etapa 14.1
Simplifique a expressão.
Etapa 14.1.1
Reescreva como .
Etapa 14.1.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 14.2
Cancele o fator comum de .
Etapa 14.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 14.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 14.3
Simplifique a expressão.
Etapa 14.3.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 14.3.2
Multiplique por .
Etapa 14.3.3
A expressão contém uma divisão por . A expressão é indefinida.
Indefinido
Etapa 14.4
A expressão contém uma divisão por . A expressão é indefinida.
Indefinido
Indefinido
Etapa 15
Etapa 15.1
Divida em intervalos separados em torno dos valores de que tornam a primeira derivada ou indefinida.
Etapa 15.2
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Etapa 15.2.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 15.2.2
A resposta final é .
Etapa 15.3
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Etapa 15.3.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 15.3.2
Simplifique o resultado.
Etapa 15.3.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 15.3.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 15.3.2.1.2
Divida por .
Etapa 15.3.2.2
Subtraia de .
Etapa 15.3.2.3
A resposta final é .
Etapa 15.4
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Etapa 15.4.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 15.4.2
Simplifique o resultado.
Etapa 15.4.2.1
Remova os parênteses.
Etapa 15.4.2.2
A resposta final é .
Etapa 15.5
Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de , então é um mínimo local.
é um mínimo local
Etapa 15.6
Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de , então é um máximo local.
é um máximo local
Etapa 15.7
Esses são os extremos locais para .
é um mínimo local
é um máximo local
é um mínimo local
é um máximo local
Etapa 16