Cálculo Exemplos

$y = \arctan (e^{x^{4}})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (e^{x^{4}}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = e^{x^{4}}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{x^{4}}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{x^{4}})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x^{4}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x^{4} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Etapa 3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.4.1

Combine $e^{x^{4}}$ e $\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} (4 x^{3})$

Etapa 3.4.3

Combine frações.

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Etapa 3.4.3.1

Combine $4$ e $\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} x^{3}$

Etapa 3.4.3.2

Combine $\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reordene os fatores em $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Etapa 3.5.3

Reordene os fatores em $\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$