Cálculo Exemplos

$u = v^{2} \sqrt{10 v - 9}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10 u' - 9}$ como ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = {u'}^{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $u$ em relação a $u'$ é $u'$ .

$u'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ é $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ , em que $f (u') = {u'}^{2}$ e $g (u') = {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ é $f' (g (u')) g' (u')$ , em que $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ e $g (u') = 10 u' - 9$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $10 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.7.3

Mova ${(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.7.4

Combine $\frac{1}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9] + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 u' - 9$ com relação a $u'$ é $\frac{d}{d v} [10 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [10 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.9

Como $10$ é constante em relação a $u'$ , a derivada de $10 u'$ em relação a $u'$ é $10 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ é $n {u'}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.11

Multiplique $10$ por $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.12

Como $- 9$ é constante em relação a $u'$ , a derivada de $- 9$ em relação a $u'$ é $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.13

Simplifique os termos.

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Etapa 4.13.1

Some $10$ e $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10 + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.13.2

Combine $\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $10$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 10}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.13.3

Mova $10$ para a esquerda de ${u'}^{2}$ .

$\frac{10 \cdot {u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.13.4

Fatore $2$ de $10 {u'}^{2}$ .

$\frac{2 (5 {u'}^{2})}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.14.1

Fatore $2$ de $2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (5 {u'}^{2})}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 {u'}^{2})}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ é $n {u'}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Etapa 4.16

Mova $2$ para a esquerda de ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$

Etapa 4.17

Combine $\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$ usando um denominador comum.

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Etapa 4.17.1

Mova ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.17.2

Para escrever $2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18

Multiplique ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.18.1

Mova ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' ({(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{1}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.19

Simplifique $2 u' {(10 u' - 9)}^{1}$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' (10 u' - 9)}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20

Simplifique.

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Etapa 4.20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.20.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.20.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 \cdot 10 u' u' + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.2

Multiplique $u'$ por $u'$ somando os expoentes.

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Etapa 4.20.2.1.2.1

Mova $u'$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 \cdot 10 (u' u') + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.2.2

Multiplique $u'$ por $u'$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 \cdot 10 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 20 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 20 {u'}^{2} - 18 u'}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.2

Some $5 {u'}^{2}$ e $20 {u'}^{2}$ .

$\frac{25 {u'}^{2} - 18 u'}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.3

Fatore $u'$ de $25 {u'}^{2} - 18 u'$ .

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Etapa 4.20.3.1

Fatore $u'$ de $25 {u'}^{2}$ .

$\frac{u' (25 u') - 18 u'}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.3.2

Fatore $u'$ de $- 18 u'$ .

$\frac{u' (25 u') + u' \cdot - 18}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.3.3

Fatore $u'$ de $u' (25 u') + u' \cdot - 18$ .

$\frac{u' (25 u' - 18)}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$u' = \frac{u' (25 u' - 18)}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

Nenhuma solução

Etapa 7

Substitua $u'$ por $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$