Cálculo Exemplos

$2 x^{2} + x + x y = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + x + x y) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + x + x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 1 + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 x + 1 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x + 1 + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 1 + x y' + y \cdot 1$

Etapa 2.4.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$4 x + 1 + x y' + y$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$x y' + 4 x + y + 1$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x y' + 4 x + y + 1 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$x y' + y + 1 = - 4 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' + 1 = - 4 x - y$

Etapa 5.1.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x y' = - 4 x - y - 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $x y' = - 4 x - y - 1$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $x y' = - 4 x - y - 1$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Divida $- 4$ por $1$ .

$y' = - 4 + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 5.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - 4 - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 5.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - 4 - \frac{y}{x} - \frac{1}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 4 - \frac{y}{x} - \frac{1}{x}$