Cálculo Exemplos

$w = \frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d w} (w) = \frac{d}{d w} (\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.1.2

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $\frac{2}{3}$ em relação a $w$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- \frac{1}{5}$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $- \frac{y^{2}}{5}$ em relação a $w$ é $- \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{2}$ e $g (w) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d w} [y]$ como $y'$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 (\frac{1}{5}) (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{5}$ .

$0 + \frac{- 2}{5} (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2.6

Combine $y$ e $\frac{- 2}{5}$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2}{5} y' + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2.7

Combine $\frac{y \cdot - 2}{5}$ e $y'$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2 y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2.8

Mova $- 2$ para a esquerda de $y$ .

$0 + \frac{- 2 \cdot y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $\frac{4 y^{2}}{3}$ em relação a $w$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{2}$ e $g (w) = y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d w} [y])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 u_{2} \frac{d}{d w} [y])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y \frac{d}{d w} [y])$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d w} [y]$ como $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y y')$

Etapa 3.3.4

Combine $2$ e $\frac{4}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{2 \cdot 4}{3} (y y')$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8}{3} (y y')$

Etapa 3.3.6

Combine $y$ e $\frac{8}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8}{3} y'$

Etapa 3.3.7

Combine $\frac{y \cdot 8}{3}$ e $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8 y'}{3}$

Etapa 3.3.8

Mova $8$ para a esquerda de $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Etapa 3.4

Combine os termos.

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Etapa 3.4.1

Subtraia $\frac{2 y y'}{5}$ de $0$ .

$- \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Etapa 3.4.2

Para escrever $- \frac{2 y y'}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3}$

Etapa 3.4.3

Para escrever $\frac{8 y y'}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.4.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.4.1

Multiplique $\frac{2 y y'}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.4.4.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.4.4.3

Multiplique $\frac{8 y y'}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Etapa 3.4.4.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{15}$

Etapa 3.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 y y' \cdot 3 + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Etapa 3.4.6

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 6 y y' + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{- 6 y y' + 40 y y'}{15}$

Etapa 3.4.8

Some $- 6 y y'$ e $40 y y'$ .

$\frac{34 y y'}{15}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{34 y y'}{15}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{34 y y'}{15} = 1$ .

$\frac{34 y y'}{15} = 1$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{15}{34}$ .

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Etapa 5.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Simplifique $\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15}$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 5.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Etapa 5.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{34} (34 y y') = \frac{15}{34} \cdot 1$

Etapa 5.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $34$ .

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Etapa 5.3.1.1.2.1

Fatore $34$ de $34 y y'$ .

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Etapa 5.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Etapa 5.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y y' = \frac{15}{34} \cdot 1$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $\frac{15}{34}$ por $1$ .

$y y' = \frac{15}{34}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y y' = \frac{15}{34}$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y y' = \frac{15}{34}$ por $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{15}{34} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 5.4.3.2

Multiplique $\frac{15}{34}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y' = \frac{15}{34 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d w}$ .

$\frac{d y}{d w} = \frac{15}{34 y}$