Cálculo Exemplos

$2 x^{3} = {(3 x y + 1)}^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3}) = \frac{d}{d x} ({(3 x y + 1)}^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Reescreva ${(3 x y + 1)}^{2}$ como $(3 x y + 1) (3 x y + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 1) (3 x y + 1)]$

Etapa 3.2

Expanda $(3 x y + 1) (3 x y + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 1) + 1 (3 x y + 1)]$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y + 1)]$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $3 x y$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 3 x y + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 3 x y + 1]$

Etapa 3.3.2

Some $3 x y$ e $3 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 6 x y + 1]$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} y^{2} + 6 x y + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.4.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.7

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.8

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.9

Diferencie.

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Etapa 3.9.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.9.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.9.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x y$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.11

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.13

Multiplique $y$ por $1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.14

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y) + 0$

Etapa 3.15

Some $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$ e $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$

Etapa 3.16

Simplifique.

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Etapa 3.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$

Etapa 3.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y') + 6 y$

Etapa 3.16.3

Combine os termos.

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Etapa 3.16.3.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y') + 6 y$

Etapa 3.16.3.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 x^{2} = 18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2}$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2}$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $18 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$18 x^{2} y y' + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2} - 18 y^{2} x$

Etapa 5.2.2

Subtraia $6 y$ dos dois lados da equação.

$18 x^{2} y y' + 6 x y' = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Etapa 5.3

Fatore $6 x y'$ de $18 x^{2} y y' + 6 x y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $6 x y'$ de $18 x^{2} y y'$ .

$6 x y' (3 x y) + 6 x y' = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Etapa 5.3.2

Fatore $6 x y'$ de $6 x y'$ .

$6 x y' (3 x y) + 6 x y' \cdot 1 = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Etapa 5.3.3

Fatore $6 x y'$ de $6 x y' (3 x y) + 6 x y' \cdot 1$ .

$6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$ por $6 x (3 x y + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$ por $6 x (3 x y + 1)$ .

$\frac{6 x y' (3 x y + 1)}{6 x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x y' (3 x y + 1)}{6 x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y' (3 x y + 1)}{x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (3 x y + 1)}{x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 x y + 1)}{3 x y + 1} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $3 x y + 1$ .

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Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 x y + 1)}{3 x y + 1} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{2}}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x \cdot x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x \cdot x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 18$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.1

Fatore $6$ de $- 18 y^{2} x$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.2.1

Fatore $6$ de $6 x (3 x y + 1)$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (x (3 x y + 1))} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (x (3 x y + 1))} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.6

Cancele o fator comum de $- 6$ e $6$ .

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Etapa 5.4.3.1.6.1

Fatore $6$ de $- 6 y$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.6.2.1

Fatore $6$ de $6 x (3 x y + 1)$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 (x (3 x y + 1))}$

Etapa 5.4.3.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 (x (3 x y + 1))}$

Etapa 5.4.3.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- y}{x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.3

Para escrever $\frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(3 x y + 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.3.4.1

Multiplique $\frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x}{(3 x y + 1) x} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.4.2

Reordene os fatores de $(3 x y + 1) x$ .

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x}{x (3 x y + 1)} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x - y}{x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{x \cdot x - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$

Etapa 5.4.3.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' = \frac{x^{2} - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$