Cálculo Exemplos

$x y - x + y = 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x y - x + y) = \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y - x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x y' + y - 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y - 1 + y'$

Etapa 3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x y' + y - 1 + y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' - 1 + y' = - y$

Etapa 5.1.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x y' + y' = - y + 1$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $x y' + y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x + y' = - y + 1$

Etapa 5.2.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' x + y' = - y + 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = - y + 1$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = - y + 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (x + 1) = - y + 1$ por $x + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (x + 1) = - y + 1$ por $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y + 1}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (y) + 1}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (y) - 1 (- 1)}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (y - 1)}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.5.1

Reescreva $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (y - 1)}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y - 1}{x + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 1}{x + 1}$