Cálculo Exemplos

$x + 2 y = \sqrt{y}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 2 y = y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x + 2 y) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + 2 y'$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$2 y' + 1$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.8

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.9

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y' + 1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados por $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique $(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.1.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Multiplique $2 y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = y'$

Etapa 6.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.3.1

Subtraia $2 y^{\frac{1}{2}}$ dos dois lados da equação.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2

Fatore $y'$ de $4 y' y^{\frac{1}{2}} - y'$ .

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Etapa 6.3.2.1

Fatore $y'$ de $4 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2.3

Fatore $y'$ de $y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.3

Divida cada termo em $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ por $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.3.1

Divida cada termo em $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ por $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Etapa 6.3.3.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Etapa 6.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$