Cálculo Exemplos

$\ln (x y) = e^{x + y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Etapa 2.6.2

Combine os termos.

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Etapa 2.6.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Etapa 2.6.2.2

Combine $\frac{x}{x y}$ e $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Etapa 2.6.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Etapa 2.6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Etapa 2.6.2.4

Combine $\frac{1}{x y}$ e $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Etapa 2.6.2.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Etapa 2.6.2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x + y} (1 + y')$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $e^{x + y} (1 + y')$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x + y} (1 + y')$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y'$

Etapa 5.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.4.1

Multiplique $e^{x + y}$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + e^{x + y} y'$

Etapa 5.1.4.2

Reordene os fatores em $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + y' e^{x + y}$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $y' e^{x + y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' e^{x + y} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.2

Para escrever $- y' e^{x + y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} - y' e^{x + y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.3

Combine $- y' e^{x + y}$ e $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{- y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y' - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.5

Fatore $y'$ de $y' - y' e^{x + y} y$ .

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Etapa 5.2.5.1

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$\frac{{y'}^{1} - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.5.2

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$\frac{y' \cdot 1 - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.5.3

Fatore $y'$ de $- y' e^{x + y} y$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.5.4

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.6

Para escrever $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.7

Para escrever $\frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.2.8.1

Multiplique $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.8.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.8.3

Reordene os fatores de $y x$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.10.2

Multiplique $y'$ por $1$ .

$\frac{(y' + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.10.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{(y' - y' e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.10.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y} = e^{x + y}$

Etapa 5.2.11

Reordene os fatores em $\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y}$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} = e^{x + y}$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados por $x y$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Etapa 5.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Simplifique $\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Etapa 5.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' x - y' y x e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Etapa 5.4.1.1.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.2.1

Mova $y$ .

$y' x - y' x y e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Etapa 5.4.1.1.2.2

Mova $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = e^{x + y} (x y)$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Reordene os fatores em $e^{x + y} (x y)$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y}$

Etapa 5.5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y' x - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Etapa 5.5.2

Fatore $y' x$ de $y' x - y' x y e^{x + y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Fatore $y' x$ de $y' x$ .

$y' x \cdot 1 - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Etapa 5.5.2.2

Fatore $y' x$ de $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Etapa 5.5.2.3

Fatore $y' x$ de $y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y})$ .

$y' x (1 - 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Etapa 5.5.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Etapa 5.5.4

Divida cada termo em $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ por $x (1 - y e^{x + y})$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Divida cada termo em $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ por $x (1 - y e^{x + y})$ .

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Etapa 5.5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Etapa 5.5.4.2.2

Cancele o fator comum de $1 - y e^{x + y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Etapa 5.5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Etapa 5.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{x y e^{x + y} - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Etapa 5.5.4.3.2

Fatore $y$ de $x y e^{x + y} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.3.2.1

Fatore $y$ de $x y e^{x + y}$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Etapa 5.5.4.3.2.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1}{x (1 - y e^{x + y})}$

Etapa 5.5.4.3.2.3

Fatore $y$ de $y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$