Cálculo Exemplos

$y^{5} + x^{2} y^{3} = 1 + y e^{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{5} + x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (1 + y e^{x^{2}})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{5} + x^{2} y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x)$

Etapa 2.3.5

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$5 y^{4} y' + 3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y e^{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$

Etapa 3.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$0 + y (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + y (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + y e^{x^{2}} (2 x) + e^{x^{2}} y'$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Some $0$ e $y e^{x^{2}} (2 x) + e^{x^{2}} y'$ .

$y e^{x^{2}} (2 x) + e^{x^{2}} y'$

Etapa 3.3.2

Reordene os termos.

$2 e^{x^{2}} x y + e^{x^{2}} y'$

Etapa 3.3.3

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x y + e^{x^{2}} y'$ .

$2 x y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 x y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $2 x y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} y'$ .

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 x y e^{x^{2}} + y' e^{x^{2}}$

Etapa 5.2

Subtraia $y' e^{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}}$

Etapa 5.3

Subtraia $2 y^{3} x$ dos dois lados da equação.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - y' e^{x^{2}}$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $5 y^{4} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + 3 x^{2} y^{2} y' - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $- y' e^{x^{2}}$ .

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 1 e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2})$ .

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- 1 e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- 1 e^{x^{2}})$ .

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - 1 e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Etapa 5.5

Reescreva $- 1 e^{x^{2}}$ como $- e^{x^{2}}$ .

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$ por $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$ por $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}$ .

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}} = \frac{2 x y e^{x^{2}}}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x y e^{x^{2}}}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Etapa 5.6.3.2

Fatore $2 x y$ de $2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$ .

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Etapa 5.6.3.2.1

Fatore $2 x y$ de $2 x y e^{x^{2}}$ .

$y' = \frac{2 x y (e^{x^{2}}) - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Etapa 5.6.3.2.2

Fatore $2 x y$ de $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{2 x y (e^{x^{2}}) + 2 x y (- y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Etapa 5.6.3.2.3

Fatore $2 x y$ de $2 x y (e^{x^{2}}) + 2 x y (- y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x y (e^{x^{2}} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y (e^{x^{2}} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$