Cálculo Exemplos

$y = (x) \tan (y)$

Etapa 1

Multiplique $x$ por $\tan (y)$ .

$y = x \tan (y)$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \tan (y))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \tan (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y) \cdot 1$

Etapa 4.5

Multiplique $\tan (y)$ por $1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.1

Reordene os fatores em $x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$ .

$y' = x y' \sec^{2} (y) + \tan (y)$

Etapa 6.2

Subtraia $x y' \sec^{2} (y)$ dos dois lados da equação.

$y' - x y' \sec^{2} (y) = \tan (y)$

Etapa 6.3

Fatore $y'$ de $y' - x y' \sec^{2} (y)$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \sec^{2} (y) = \tan (y)$

Etapa 6.3.2

Fatore $y'$ de $- x y' \sec^{2} (y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$

Etapa 6.3.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (y))$ .

$y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$ por $1 - x \sec^{2} (y)$ e simplifique.

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Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$ por $1 - x \sec^{2} (y)$ .

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (y))}{1 - x \sec^{2} (y)} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x \sec^{2} (y)$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (y))}{1 - x \sec^{2} (y)} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Etapa 6.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$