Cálculo Exemplos

$y^{2} = (x - y) (x^{2} + y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} ((x - y) (x^{2} + y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - y$ e $g (x) = x^{2} + y$ .

$(x - y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y] + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.7

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - y')$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - y) (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Etapa 3.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Etapa 3.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Etapa 3.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Etapa 3.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Etapa 3.8.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Etapa 3.8.7

Combine os termos.

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Etapa 3.8.7.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Etapa 3.8.7.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Etapa 3.8.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{1 + 1} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Etapa 3.8.7.4

Some $1$ e $1$ .

$2 x^{2} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Etapa 3.8.7.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Etapa 3.8.7.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Etapa 3.8.7.7

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Etapa 3.8.7.8

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Etapa 3.8.7.9

Some $- y y'$ e $y (- y')$ .

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Etapa 3.8.7.9.1

Reordene $y$ e $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' - 1 \cdot y y' + y + x^{2} (- y')$

Etapa 3.8.7.9.2

Subtraia $y y'$ de $- y y'$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

Etapa 3.8.8

Reordene os termos.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' = 3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y = 2 y y'$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $2 y y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2 y y'$ de $- 2 y y'$ .

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Some $2 x y$ aos dois lados da equação.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2} + 2 x y$

Etapa 5.3.3

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $x y' - 4 y y' - x^{2} y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- 4 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $- x^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (x) + y' (- 4 y)$ .

$y' (x - 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $y' (x - 4 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ por $x - 4 y - x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ por $x - 4 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $x - 4 y - x^{2}$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.5.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.4

Fatore $- 1$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 2 x y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.7

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.5.3.2.8.1

Reescreva $- (3 x^{2} - 2 x y + y)$ como $- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$