Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} = x^{3} y^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y^{3}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$3 \cdot x^{3} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2})$

Etapa 3.6

Mova $3$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $3 x^{3} y^{2} y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2}$

Etapa 5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $3 y^{2} y'$ de $3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $3 y^{2} y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' \cdot 1 - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $3 y^{2} y'$ de $- 3 x^{3} y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' (- x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $3 y^{2} y'$ de $3 y^{2} y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' (- x^{3})$ .

$3 y^{2} y' (1 - x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.4

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$3 y^{2} y' (1^{3} - x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.5

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.6

Fatore.

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Etapa 5.6.1

Simplifique.

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Etapa 5.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.7

Divida cada termo em $3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.7.1

Divida cada termo em $3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.2.3

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 5.7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (1 + x + x^{2})}{1 + x + x^{2}} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.2.4

Cancele o fator comum de $1 + x + x^{2}$ .

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Etapa 5.7.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 + x + x^{2})}{1 + x + x^{2}} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.2.4.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y^{3} x^{2}}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ e $y^{2}$ .

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Etapa 5.7.3.1.2.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.3.1.2.2.1

Fatore $y^{2}$ de $(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})$ .

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{y^{2} ((1 - x) (1 + x + x^{2}))} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{y^{2} ((1 - x) (1 + x + x^{2}))} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.3.1.3.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.3.1.3.2.1

Fatore $3$ de $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 ((y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2}))}$

Etapa 5.7.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 ((y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2}))}$

Etapa 5.7.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- x^{2}}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 5.7.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$